Question

$A=\{x\in N: x $ মৌলিক সংখ্যা এবং $ x<10\}$, $B=\{4,5\}$, $C=\{x\in N: x^2>7, $$x^3<136\}$ প্রমাণ কর যে, $(A\cap C)\cup(B\cap C)$$=(A\cup B)\cap C$

Answer 1

$A = \{x \in N : x $ মৌলিক সংখ্যা এবং $ x < 10\} = \{2, 3, 5, 7\}$

$B = \{4, 5\}$

$C = \{x \in N : x^2 > 7, x^3 < 136\}$

এখানে, শর্তানুযায়ী $x^2 > 7$ এবং $x^3 < 136$ হলে স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো হয় $3, 4, 5$।

সুতরাং, $C = \{3, 4, 5\}$

এখন,

বামপক্ষ (LHS) $= (A \cap C) \cup (B \cap C)$

$A \cap C = \{2, 3, 5, 7\} \cap \{3, 4, 5\} = \{3, 5\}$

$B \cap C = \{4, 5\} \cap \{3, 4, 5\} = \{4, 5\}$

$\text{LHS} = \{3, 5\} \cup \{4, 5\} = \{3, 4, 5\}$

ডানপক্ষ (RHS) $= (A \cup B) \cap C$

$A \cup B = \{2, 3, 5, 7\} \cup \{4, 5\} = \{2, 3, 4, 5, 7\}$

$\text{RHS} = \{2, 3, 4, 5, 7\} \cap \{3, 4, 5\} = \{3, 4, 5\}$

অতএব, $\text{LHS} = \text{RHS}$

$\therefore (A \cap C) \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap C$ (প্রমাণিত)